1 + 3 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = n² + (2n + 1) = (n + 1)².
Этим завершается доказательство гипотезы индукции. Осталось только толкнуть первую костяшку. Для базы индукции, то есть при n = 1, утверждение, несомненно, справедливо, так как 1 = 1².
Теперь костяшки доказательства начинают падать одна за другой: утверждение для n = 2 вытекает из утверждения для n = 1, утверждение для n = 3 – из утверждения для n = 2 и так далее.
Однако Пифагор придумал способ получше этого. Тот же закон становится совершенно очевидным, если расположить камешки определенным образом.
Один шарик и три шарика легко расставить в форме квадрата размером 2 × 2 клетки:
Один шарик, три шарика и еще пять шариков дают правильный квадрат размером 3 × 3:
Если же добавить к ним следующее нечетное число, 7, точно так же получится квадрат размером 4 × 4 клетки:
Великий еврейский философ Барух Спиноза различал три вида знания:
1. Вера.
2. Исследование (экспериментирование).
3. Понимание.
Я объясню, о чем идет речь. Если вы сообщаете мне что-то – например что сумма последовательности нечетных чисел равна полному квадрату, – я могу поверить, что вы знаете, о чем говорите. Это первый уровень знания. Однако вполне может быть, что то, что вы мне рассказали, неверно.
Если я не поленюсь проверить эту информацию – то есть рассмотрю несколько примеров и смогу убедиться, что для них это правило выполняется, – я перейду на второй уровень знания. На нем утверждение несколько более достоверно, потому что я видел, что оно действительно справедливо в некоторых случаях, но считать его абсолютно истинным нельзя. Профессор Бено Арбель (1939–2013) показал мне однажды замечательный пример, в котором многократные проверки не позволяют убедиться в истинности утверждения, даже когда их число необычайно велико. Возьмем выражение 991n² + 1. Существует ли такое значение n, при котором это выражение дает полный квадрат? Можно подставить множество разных значений n, а потом перебрать кучу других значений n, и все время будет казаться, что это выражение никогда не дает полного квадрата. Но это не так, потому что при n = 12 055 735 790 331 359 447 442 238 767 получается именно полный квадрат! Даже если мы проживем миллиард лет и потратим все это время на подстановки и вычисления, вряд ли мы обнаружим это число.
