Кстати говоря, фамилия Лежён Дирихле имеет интересную историю. Семья Дирихле происходила из деревушки Ришлет, расположенной вблизи бельгийского города Льежа. Поэтому его прозвали «юнцом из Ришлет» – le jeune de Richelette[19].
Царство составных чисел
Много лет назад меня назначили преподавателем очень особой программы в рамках Математической школы при Тель-Авивском университете. Профессор Бено Арбель отвечал за выявление старшеклассников с исключительными способностями к математике, а я должен был понемногу учить их и готовить к исследовательской работе параллельно с их школьными занятиями. Основной целью этой программы было дать им возможность получить бакалаврскую или даже магистерскую степень еще до окончания старшей школы или вскоре после него. Я часто давал им решать задачи, которые выбирал из своей личной коллекции Международных математических олимпиад, потому что считаю, что лучше всего развивают именно трудные задачи. Одной из задач, которые я задавал на разминочном этапе, была следующая.
Задача
Выпишите 100 последовательных чисел, среди которых не будет ни одного простого числа.
К этому моменту вы, вероятно, уже знаете, что я собираюсь написать дальше. Если вы думаете, что я напишу «попытайтесь немного подумать, прежде чем читать дальше», вы совершенно правы.
Маленькая подсказка
Это непростое упражнение. Первым делом вы, несомненно, подумали, что такая сплошная последовательность чисел должна начинаться с весьма большого числа, – мы уже знаем, что среди малых значений не найдется ста последовательных чисел, среди которых не было бы ни одного простого.
Продолжайте думать.
Пока вы думаете, я воспользуюсь этой возможностью, чтобы познакомить вас (или возобновить ваше знакомство) с одним очень важным обозначением, которое упрощает запись и размышления. Разумеется, то, что я ввожу это обозначение именно сейчас, не случайно: оно поможет нам решить эту задачу. Речь идет о символе факториала, который обозначается восклицательным знаком (!). Запись n! обозначает в математике произведение всех чисел от 1 до n, то есть n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × … × (n – 1) × n.
Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Однажды один из моих учеников пропустил занятие, на котором я вводил факториалы. Когда он увидел обозначение 5! он назвал его «пять ух!». Сразу же очевидно, что 5! делится на все числа, входящие в произведение. Другими словами, n! делится на все числа от 1 до n.
Добросовестности ради отмечу, что 0! принимают равным 1, чтобы не вносить противоречий в основную формулу определения факториала: n! = (n – 1)! × n.
А теперь попробуем еще раз взяться за нашу задачу.
У вас появились какие-нибудь идеи? Если нет, читайте дальше.
Большая подсказка
Я надеюсь, что за то время, которое мы провели за разговором о факториалах, вы приблизились к решению. Нет никаких сомнений, что факториалы играют в нем какую-то роль. Но какую?
