Когда после тысячелетнего оцепенения европейская мысль стряхнула усыпляющее влияние, с толь мастерски насаждавшееся отцами Церкви, вопрос о бесконечности стал одним из первых, на которые вновь было обращено внимание.
Тобиас Данциг. «Числа — язык науки» Проклятие Зенона висело над математикой два тысячелетия. Казалось, что Ахиллес обречен вечно преследовать черепаху, никогда ее не догоняя. В простой загадке Зенона скрывалась бесконечность. Греки были остановлены бесчисленными шагами Ахиллеса. Им не приходило в голову сложить вместе бесконечные части, хотя величина шагов Ахиллеса приближалась к нолю. Греки едва ли могли сложить шаги нулевой величины, не имея понятия ноля. Впрочем, когда Запад принял ноль, математики начали приручать бесконечность и закончили гонку Ахиллеса.
Несмотря на то, что последовательность Зенона имеет бесчисленные члены, мы можем сложить их и все же остаться в области конечных чисел: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 +… = 2. Первым человеком, проделавшим такой трюк — сложение бесконечного числа членов для получения конечного результата, — был британский логик XIV века Ричард Суисет. Он взял последовательность 1/2 , 2/4 , 3/8 , 4/16 , …, n/2n, сложил ее члены и получил 2. В конце концов числа, составлявшие последовательность, все больше и больше приближались к нолю; по наивности можно было бы предположить, что это обеспечит конечность их суммы. Увы, бесконечность вовсе не так проста.
Примерно в то же время, когда Суисет получит свой результат, Николя Оресм, французский математик, попробовал сложить другую бесконечную последовательность чисел — так называемую гармоническую серию: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … Как и в случаях последовательностей Зенона и Суисета, все члены данной последовательности все больше и больше приближаются к нолю. Тем не менее когда Оресм попытался сложить их, он обнаружил, что сумма становится все больше и больше. Несмотря на то, что отдельные члены последовательности стремятся к нолю, сумма делается бесконечно большой. Оресм показал это, сгруппировав члены: 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +… Первый член новой последовательности очевидно равен 1/2 ; второй больше 1/2 , так как больше, чем (1/4 + 1/4); третий тоже больше 1/2 , так как больше, чем (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)… и так далее. Вы продолжаете складывать 1/2, 1/2, 1/2… и сумма становится все больше и больше — до бесконечности. Хотя члены последовательности стремятся к нолю, они стремятся недостаточно быстро. Сумма бесконечной последовательности может быть бесконечно большой, даже если ее члены стремятся к нолю. Однако это еще не самое странное свойство бесконечно большой суммы. Ноль сам не застрахован от странной природы бесконечности.
