Вы хотите пройти отбор в команду по прыжкам в длину; для этого ваш средний результат должен составлять 5,2 м. Тренер говорит, что будет засчитывать лучший прыжок, который вы сделаете в каждый день недели, а затем вычислит среднее значение. Вот ваши пять прыжков. К сожалению, в пятницу у вас был низкий показатель, потому что вы не очень хорошо себя чувствовали.
Как вычислить среднее значение, которое справедливо отразит ваши результаты? Вычислите несколько средних значений разными способами и определите, какое из них, на ваш взгляд, самое справедливое. Объясните свой метод и попытайтесь убедить кого-нибудь в том, что он лучший.
После того как ученики попытались найти свои способы определения средней величины и обсудили их в группах и со всем классом, им можно объяснить формальные методы определения среднего арифметического, моды и амплитуды.
4. Можно ли включить в задачу визуальную составляющую?
Визуальное представление очень заметно влияет на учеников, обеспечивая новый уровень понимания, как можно видеть в случае задачи с растущими фигурами. При этом можно использовать не только рисунки, но и физические объекты, такие как кубики или алгебраические карточки. В детстве я часто играла со счетными палочками Кюизенера, упорядочивая их и исследуя математические закономерности. В ходе онлайн-курса, призванного показать слушателям важные математические стратегии, я объясняю, как представить в графическом виде любую математическую задачу или концепцию (см. https://class.stanford.edu/courses/Education/EDUC115-S/Spring2014/about). Графическое представление — мощный инструмент для математиков и людей, которые занимаются решением задач (большинство из них могут нарисовать любую задачу). Когда на уроке математики ученики топчутся на месте, я часто предлагаю им нарисовать задачу.
В школе Рейлсайд (очень успешной школе, работу которой я изучала) ученикам предложили отображать связи с помощью цветового кодирования. Например, на уроках алгебры ученики должны описывать функциональные соотношения разными способами: с помощью выражения или рисунка, в вербальной форме или в виде графика.
Таких форм представления требуют во многих школах. Нестандартный подход Рейлсайд состоял в том, что там предложили ученикам отмечать соотношения цветом — например, показывать ось x в одном и том же цвете в выражении, на графике и в диаграмме. В главе 7, где приведено более подробное описание подхода школы Рейлсайд, представлен пример задач с элементами цветового кодирования. В других областях (например, предлагая ученикам определить конгруэнтные, вертикальные и смежные углы) также можно попросить раскрасить и записать как можно больше соотношений, выделив соотношения цветом (пример 5.9 и рис. 5.18). Другие примеры цветового кодирования приведены в главе 9.
ПРИМЕР 5.9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И СЕКУЩАЯ
1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.
2. Определите вертикальные и смежные углы.
3. Запишите соотношения, которые вы видите. В своих записях используйте те же цвета, что и на рисунке.
Вертикальные углы: __________
Смежные углы: __________
Соотношения: __________
Параллельные прямые и секущая (решение примера 5.9)
1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.
2. Определите вертикальные и смежные углы.
3. Воспользовавшись теми же цветами, что и на рисунке, запишите как можно больше соотношений
Рис. 5.18. Выделение углов методом цветового кодирования
5. Можете ли вы сформулировать задачу так, чтобы она относилась к категории «низкий пол, высокий потолок»?
Все представленные выше задачи относились к категории «низкий пол, высокий потолок». Благодаря высокой степени свободы они доступны для широкого круга учеников, которые могут перейти на более высокий уровень.
Один из способов сделать «пол» ниже сводится к тому, чтобы всегда спрашивать учеников, как они представляют себе задачу. Этот замечательный вопрос заслуживает внимания и по другим причинам.
Превосходная стратегия, позволяющая повысить «потолок» задачи, состоит в том, чтобы предложить ученикам, которые уже нашли ответ на вопрос, написать новый, аналогичный первому, но более сложный. Во время обучения смешанной группы учеников в летней школе мы часто использовали эту стратегию и получали впечатляющие результаты. Например, когда мальчик Алонсо закончил решать задачу с лестницей, в которой ученики должны были поразмышлять над ростом закономерности и шагом n (пример 5.10), он задал более трудный вопрос: как будет расти лестница в четырех направлениях и сколько кубиков будет на n-м шаге? (рис. 5.19.)
