Поскольку 1! = 1, мы получаем 0! = 1.
А теперь давайте вернемся к расстановке книг на полке. Сколькими способами можно расставить на полке ноль книг? Есть один-единственный вариант: оставить полку пустой.
Глава 11
Закон Бенфорда
Для нас очевидно, что все цифры сотворены равными. Нет, мы не имеем в виду «равными друг другу» – разумеется, нет! Но внутри нас теплится вера в то, что все десять цифр, от 0 до 9, играют одинаковые роли в мире чисел.
Печальная правда заключается в том, что числа могут быть такими же нескромными, как люди: они все стремятся к первенству. Представьте, что вам приглянулась вещь стоимостью 43,52 доллара. Какая из цифр кажется вам более значимой? Важнее всего для вас цифра четыре, а двойка на конце не играет почти никакой роли. Вы встревожитесь, если четверка вдруг изменится на девятку, а если изменится двойка, вряд ли вас это сильно взволнует.
Тот, кто ждет от Вселенной справедливости, должен верить, что у всех цифр одинаковые шансы сыграть значимую роль, – но бедный, бедный нолик! Он не становится первой значащей цифрой, честь выпала на долю других[105]. Все они стремятся быть значительней остальных настолько часто, насколько это возможно.
Мы верим, что цифры от 1 до 9 участвуют в математике на равных правах и каждая начинает одну девятую часть всех существующих чисел (примерно 11 %). Разумеется, не может быть большего количества чисел, начинающихся с двойки, чем с пятерки.
Ведь так?
Дикорастущие величины
Утверждение о том, что все цифры от 1 до 9 равно представлены в качестве первой значащей цифры, приобретает смысл, если иметь в виду определенный диапазон чисел: скажем, от 1 до 999 999. В этом случае все цифры от 1 до 9 одинаково часто занимают место первой значащей цифры.
Разумеется, на результат влияет, какой именно диапазон мы выбрали. Если мы посмотрим на другой ряд чисел, скажем от 1 до 19, то обнаружим, что здесь все цифры от 2 до 9 занимают первую позицию всего единожды, в то время как 1 становится первой значащей цифрой в 11 случаях.
Ради беспристрастности давайте возьмем какие-нибудь величины из внешнего мира. Мы должны быть аккуратными и не искать числа, сконцентрированные в узком диапазоне. Поэтому мы не станем брать такой параметр, как рост взрослого человека[106], ведь практически все результаты измерений будут начинаться с 1 или 2 (ничтожно малое количество людей имеет рост выше 299 или ниже 100 сантиметров).
Ради уверенности в том, что все цифры имеют одинаковые шансы стать первой значащей цифрой числа, мы будем вести измерения в широком диапазоне. Например, давайте зададимся вопросом, насколько велико население разных стран[107]. Это значение будет колебаться от миллиарда с лишним (Китай и Индия) до менее чем десяти тысяч (в случае с карликовым государством на коралловом острове Науру[108]). Вдобавок к численности населения давайте выясним следующие параметры для сотен государств:
– валовой внутренний продукт (в долларах США);
– количество аэропортов;
– площадь (в квадратных километрах);
– ежегодную выработку электроэнергии (в киловатт-часах);
– ежегодное потребление продуктов нефтепереработки (в баррелях);
– общую длину всех железных дорог (в километрах);
– количество телефонов.
