Прямая линия! Решения формируют идеально прямую линию. Нет ни одного из них, которое отклонялось бы от этого правила. В прямоугольной системе координат линия является геометрическим решением уравнения, а уравнение – алгебраическим представлением прямой линии. Два объекта слились воедино, и сегодня нередко можно услышать, как математики называют прямую линию х + 2 = y. Давая одни и те же имена разным вещам, алгебра и геометрия в действительности становятся единой дисциплиной.
Такая взаимозависимость привела к тому, что геометрические явления могут быть описаны алгебраическим языком и наоборот. Например, то, что называется «серединой» в геометрии, именуется «средним» в алгебре. Возьмем точку А с координатами 2 и 4 и соединим ее с точкой B с координатами 4 и 6. Для того, чтобы найти середину отрезка, соединяющего А и В, достаточно найти средние значения координат. Первые координаты А и В равны 2 и 4, соответственно, из чего можно сделать вывод о том, что первая средняя координата равна среднему значению этих двух чисел: (2 + 4) / 2 = 3. Аналогично можно найти среднее значение по вертикальной оси: (4 + (–6)) / 2 = –1. Таким образом, координаты середины отрезка равны 3 и –1, в чем можно убедиться, отметив эту точку на графике:
В словаре соответствий терминов из алгебры и геометрии окружность обозначает квадратное уравнение, точки пересечения двух окружностей – систему уравнений, а теорема Пифагора, тригонометрические конструкции и разделение на мозаичные части трансформируются в различные буквенные формулы.
Подводя итоги, можно сделать вывод, что в дальнейшем для решения геометрических задач не было необходимости изображать фигуры: алгебраические расчеты окончательно заняли свое место в математике, что значительно упростило и ускорило решение задач!
В последующие века использование прямоугольной системы координат способствовало достижению значительных успехов в развитии математики.
Одним из наиболее важных среди них было, несомненно, решение вопроса гипотезы, волновавшей умы математиков еще со времен Античности: определение квадратуры круга.
Можно ли с помощью линейки и циркуля начертить квадрат и круг, равные по площади? Вспомните, как еще более трех тысяч лет назад писец Ахмес уже пытался решить этот вопрос. После него разгадку безуспешно искали в Древнем Китае и Греции, но вопрос оставался на протяжении веков одной из величайших математических загадок, ответа на которую не было найдено.
В прямоугольной системе координат прямые линии, проведенные с помощью линейки, становятся линейными уравнениями, в то время как окружность, начерченная циркулем, может быть представлена в виде квадратного уравнения. С алгебраической точки зрения вопрос о квадратуре круга, таким образом, сводится к вопросу о том, можно ли найти такие уравнения первой и второй степени, решениями которых будет число π? Благодаря этой формулировке исследования возобновились, но вопрос все равно оставался сложным.
Только в 1882 г. немецкий математик Фердинанд фон Линдеман нашел окончательный ответ на этот вопрос. Нет, решением уравнений первой и второй степени не будет число π, и найти квадратуру круга невозможно. Таким образом, была решена проблема, которая до этого времени не поддавалась ни одному математику.
Прямоугольная система координат может легко быть расширена до пространственной геометрии. В трехмерной системе координат каждая точка будет иметь уже три координаты, и алгебраические методы могут быть применены к ним таким же образом.
Все становится несколько сложнее, когда мы переходим к четвертому измерению. С точки зрения геометрии невозможно представить себе фигуру в четырех измерениях, так как мы живем в трехмерном мире. В алгебре, однако, это не представляет сложности: значение координаты четвертого измерения – это все лишь четвертая строчка в координатной записи. И все алгебраические методы применимы в четырехмерном пространстве аналогичным образом. Например, если мы рассмотрим точки А и В, координаты которых равны 1, 2, 3 и 4 для первой точки и 5, 6, 7 и 8 для второй соответственно, можно без проблем найти среднее значение этих чисел: их координаты будут равны 3, 4, 5 и 6. Четырехмерная геометрия, в частности, использовалась в XX в. при формулировании теории относительности Альберта Эйнштейна, который станет использовать четвертую координату для моделирования времени.
