(5³)² = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 56
Сопутствующая теорема: Существуют иррациональные числа a и b, при которых число ab будет рациональным.
Не пугайтесь, нам эта теорема вполне по плечу, хоть мы и знаем пока лишь одно иррациональное число – √2. Приведенное ниже доказательство является, по сути, доказательством существования: мы же пытаемся просто узнать, есть ли вообще такие a и b, а не определить их конкретные числовые выражения.
Доказательство: Раз уж мы знаем, что √2 является иррациональным числом, возьмем число Будет ли оно рациональным? Если да, то теорема доказана (поскольку и a и b равны √2). Если нет – что ж, по крайней мере мы узнаем еще одно иррациональное число примем и с помощью правила возведения в степень получим
то есть рациональное число. Следовательно, независимо от того, является рациональным или иррациональным числом, мы докажем, что ab будет рациональным числом при иррациональных значениях a и b.☺
Так обычно и выглядит любое доказательство существования чего бы то ни было: почти всегда остроумно и очень редко – исчерпывающе. (Кстати, уж коли зашла речь: число – все-таки иррациональное число, но сейчас это для нас абсолютно не принципиально.)
Куда больше удовлетворения (равно как и куда больше существенной информации) получаешь, идя путем конструктивного доказательства. Одно из них, к примеру, – доказательство того, что любое рациональное число a/b либо вовсе не имеет цифр после запятой, либо эти цифры повторяются (иными словами, в затянувшемся делении b раз за разом становится делителем того числа, что уже делилось). Но будет ли верным обратное? Само собой, конечная десятичная дробь должна быть рациональным числом. Например, 0,12358 = 12 358/100 000. А если эта дробь – допустим, 0,123123123… – периодическая? Должна ли она быть рациональным числом? Ответ – да, и вот вам очень элегантный способ это доказать. А заодно и найти это самое число. Обозначим искомое буквой w (как в английском слове waltz, которое означает «проще простого»), то есть
w = 0,123123123…
Умножим обе части на 1000:
1000w =123,123123123…
вычтем первое уравнение из второго:
999w = 123
и получим
Возьмем еще одну периодическую десятичную дробь, но на этот раз такую, в которой цикл повторения начинается не с первой после запятой цифры, а чуть позже.
Какой обычной дроби будет соответствовать десятичная 0,83333…? Начнем с
