Наше доказательство будет базироваться на рассечении большой фигуры на малые: мы сгруппируем несколько прямоугольных треугольников в одну фигуру, посчитаем сначала ее площадь, а потом сумму площадей образующих ее фрагментов и – вуаля! – докажем теорему Пифагора.
Теперь рассечем большой квадрат на пять составных частей: малый квадрат со стороной c и четыре треугольника; сложим треугольники попарно в два прямоугольника со сторонами a и b:
a² + 2ab + b² = c² + 2ab.
Когда мы вычтем из обеих частей тождества 2ab, теорема Пифагора будет доказана[149].
Вот другое доказательство, тоже основанное на рассечении некой геометрической фигуры.
Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника так, чтобы они образовали квадрат c × c:
Общая площадь этой фигуры с². Посчитайте самостоятельно сумму площадей треугольников и малого квадрата в центре. Ответ вы найдете в конце главы.
Еще одно доказательство на основе рассечения геометрической фигуры придумал Джеймс Гарфилд, 20-й президент Соединенных Штатов[150].
Сгруппируем три прямоугольных треугольника, два одинаковых поменьше и один побольше, чтобы они образовали трапецию[151]:
Посчитайте сначала площадь трапеции, а затем сумму площадей образующих ее треугольников. Ответ – в конце главы.
Абсолютная величина комплексного числа[152]
Вычислить абсолютную величину[153] числа означает лишить его минуса, если оно отрицательное. Например, | – 5 | = 5. Иными словами, число –5 включает 5 единиц.
Более точное определение абсолютной величины:
Например, |12 | = 12, | – 7 | = 7, |0 | = 0.
Вот геометрическая интерпретация: абсолютная величина числа x – это расстояние между точкой с координатой x и точкой с координатой 0 на числовой оси:
Абсолютная величина показывает, насколько число удалено влево или вправо от нуля; знак числа (плюс или минус) не играет роли.
Как мы распространим идею абсолютной величины на комплексные числа? Что значит |3 + 4i|? Мы не можем сказать, отрицательно или положительно число 3 + 4i. Эти термины неприменимы к комплексным числам. Наша цель – выяснить, насколько комплексное число удалено от нуля. Для этого нам необходима геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительное число задает точку на числовой прямой; комплексное задает точку на плоскости. Например, комплексное число 3 + 4i можно изобразить геометрически, если отложить три единицы вправо и четыре единицы вверх от начала координат, как показано на рисунке.
Теперь подумаем, что значит расстояние от точки 3 + 4i до начала координат. На рисунке оно обозначено отрезком с двумя стрелочками на концах. Это – не что иное, как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 3 и 4. Пусть c – длина данной гипотенузы, тогда по теореме Пифагора
