Глава 15
Окружности
Окружности изящны и красивы. Глава 15 содержит россыпь любопытных фактов об этих основополагающих геометрических фигурах.
Точное определение
Математики избегают туманных определений, им подавай точность! Окружность – это множество точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки[160]. Давайте распутаем этот клубок.
Прежде всего, окружность представляет собой множество точек. Естественно, не любое множество точек образует окружность. Речь идет лишь об избранных точках. Избранных по какому принципу? Окружность – это множество точек, заданных двумя условиями: положительным числом r и точкой X. Как вы знаете, точку X мы называем центром окружности, а число r – радиусом.
При построении (чернилами на бумаге или пикселями на экране) окружность имеет некоторую толщину, но с математической точки зрения толщина окружности равна нулю.
Окружности – близкие родственники сфер. А что такое сфера? Это множество точек в пространстве, равноудаленных от некоторой точки. Обратите внимание: два определения почти одинаковы, за исключением того, что окружность находится в плоскости.
Уравнение окружности
Точки на плоскости задаются двумя координатами: x и y. Если мы записываем уравнение с двумя переменными, множество точек, чьи координаты удовлетворяют этому уравнению, задают какую-нибудь геометрическую фигуру.
Например, уравнению x² + y² = 1 удовлетворяют некоторые, но не все точки плоскости. Скажем, точка с координатами (1, 0) удовлетворяет уравнению, потому что 1² + 0² = 1. Точно так же точка (3/5, 4/5) тоже удовлетворяет уравнению:
С другой стороны, точка (1/2, 1/2) не удовлетворяет уравнению, потому что
Что можно сказать о точках, удовлетворяющих уравнению x² + y² = 1? Они задают окружность с центром в начале координат и радиусом 1.
Почему? Давайте подумаем о точке (x, y). Она задает прямоугольный треугольник. Проведем перпендикуляры к осям абсцисс и ординат и соединим отрезком нашу точку с началом координат, как показано на рисунке.
Длины катетов треугольника равны x и y, и по теореме Пифагора (см. главу 14) длина гипотенузы равна Это не что иное, как расстояние от точки (x, y) до точки (0, 0).
