Книга Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Отступление

Доказательство: Допустим, что число p = 2n – 1 – простое. Докажем теперь, что число 2n–1p – совершенное. Какие величины являются его собственными делителями? Сначала – делители, которые не используют множитель p: 1, 2, 4, 8…., 2n–1. Все они сводятся к сумме 2n – 1 = p. Потом – все остальные (за исключением самого 2n–1p), которые включают в себя множитель p и которые дают в сумме p(1 + 2 + 4 + 8 +… + 2n–2) = p(2n–1 – 1). Следовательно, общая сумма всех собственных делителей составит

p + p(2n–1 – 1) = p(1 + (2n–1 – 1)) = 2n–1p

что и требовалось доказать.

Великий Леонард Эйлер доказал, что каждое четное совершенное число может быть сведено к этой форме. Именно это представление помогло определить 48 совершенных четных чисел. Существуют ли в принципе среди совершенных чисел нечетные, не знает никто. Доказано, что если и существуют, то наименьшее из них состоит из более чем трех сотен цифр. Несуществование же их пока что так и не доказано.

С простыми числами связано множество нерешенных математических проблем. Одну из них я уже упоминал: неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел Фибоначчи (если помните, мы выяснили, что во всей последовательности всего лишь два полных квадрата чисел – 1 и 144 – и столько же кубов – 1 и 8).

Еще одна проблема – известная как гипотеза Гольдбаха – основана на предположении, что любое четное число больше 2 есть сумма двух простых чисел. Доказать этого никто не смог, однако известно, что, если контрпример и существует, в нем должно быть никак не меньше 19 цифр. (Совсем недавно, в 2013 году, в решении очень похожей проблемы произошел прорыв: перуанец Харальд Хельфготт доказал, что любое нечетное число больше 7 есть сумма как максимум трех нечетных простых чисел.)

А еще есть простые числа-близнецы (парные простые числа) – простые числа, разность между которыми составляет ровно 2: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и так далее. Единственные «тройняшки» в этом ряду – это 3, 5 и 7. И хотя было доказано (в качестве частного случая теоремы Густава Дирихле[18], что количество простых чисел, заканчивающихся на 1 (а также на 3, 7 или 9), бесконечно, вопрос о том, бесконечно ли количество простых чисел-близнецов, остается открытым.

Закончить эту главу я бы хотел доказательством, которое может показаться вам притянутым за уши (да что уж греха таить, именно за уши оно и притянуто). Тем не менее смею надеяться, что оно вас все-таки удовлетворит.

Утверждение: Все положительные целые величины интересны.

Доказательство: Вы, без сомнений, согласитесь, что первые положительные числа не оставляют вас равнодушными. Например, 1 – это самое первое положительное число, 2 – первое четное положительное число, 3 – первое нечетное простое число… Предположим обратное – что совсем не все числа так уж интересны. Тогда есть некая самая первая навевающая скуку величина. Назовем ее N. Но разве самого этого факта недостаточно, чтобы сделать N отличной от всех остальных величин и хотя бы уже поэтому интересной? И разве не доказывает это, что «скучных» чисел попросту не бывает?