Попросите ребенка назвать самое-самое большое число – и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде “пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…” и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с “сиксиллионами” и “мультиллиардами”. По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, – просто детские шалости. Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося “триллион триллионов триллионов триллионов…” и так далее со скоростью один “триллион” в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с которыми мы познакомимся в этой главе: такими как число Грэма, TREE(3) и поистине исполинское число Райо.
Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы “неподвижных звезд” (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат “Исчисление песчинок” начинается так:
Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества[43].
Архимед, считавший, что “математика… открывает свои тайны только тому, кто приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственной красоты”[44].
Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел – а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все бо́льшие и бо́льшие целые числа. Греки называли число 10 000 “мюриас”, что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось “мириадой”[45]. В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал “мириаду мириад”, то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 108. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение. Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал “первыми”. Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 1016), он отнес ко “вторым”; потом перешел к “третьим”, “четвертым” и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг “мириад-мириадного” разряда, то есть числа 108, умноженного само на себя 108 раз (или 108 в степени 108). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к “числам первого периода”. Само число 10800 000 000 он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 1080 000 000 000 000 000, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.
Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 1063 песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной – 92 миллиарда световых лет, – ее объем не сможет вместить больше 1095 песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.