В этой главе мы уже не раз обращались к помощи алгебры, чтобы разрешить исключительно геометрические проблемы. Принцип этот прекрасно работает и в обратную сторону: порой геометрия значительно облегчает понимание алгебры. Взгляните на типичную задачу. Насколько малым может быть значение где x есть любое положительное число? При x = 1 имеем 2, при x = 1,25 – 1,25 + 0,8 = 2,05, при x = 2 – 2,5. Логика подсказывает, что наименьшим ответом будет 2, и это на самом деле так, только вот как нам в этом удостовериться? Самый простой и эффективный метод расчета будет предложен в главе 11, пока же давайте ограничимся методом геометрическим.
Возьмем фигуру, состоящую из четырех костяшек домино, каждая из которых имеет размер x на 1/x. Расположены они так, чтобы в пространстве между ними получился квадрат. Какова будет общая площадь всей фигуры (включая этот внутренний квадрат)?
С одной стороны, поскольку фигура представляет собой квадрат x + 1/x на x + 1/x, ее площадь должна быть (x + 1/x)². С другой стороны, площадь каждой костяшки домино равна 1, поэтому площадь фигуры в целом составит как минимум 4. Следовательно,
(x + 1/x)² ≥ 4
или x + 1/x ≥ 2, что и требовалось доказать.☺
Начав с площади прямоугольника, можно найти площадь практически любой другой геометрической фигуры, в первую очередь – треугольника.
Теорема: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h составляет
Для наглядности возьмем три конкретных треугольника, основание каждого из которых рана b, а высота – h, что значит, что их площадь также должна быть равна. Это, по сути, наш третий вопрос, ответ на который, готов поспорить, многих из вас удивил.
В зависимости от того, какие размеры имеют прилежащие к основанию AC углы ∠A и ∠C, нам нужно рассмотреть три разных частных случая, а затем создать копию треугольника ABC и вписать его вместе с оригиналом в прямоугольник с площадью bh, как показано на рисунке. Треугольник ABC займет ровно половину этой площади, а значит, его площадь составит как мы и предполагали.
Если углы ∠A и ∠C острые, остроумным будет и доказательство. Из точки B проведите линию длиной h так, чтобы она была перпендикулярна отрезку AC (она называется высотой треугольника ABC), пересекая его в точке X, как показано на рисунке:
AC, таким образом, состоит из отрезков AX и XC, длины которых составляют соответственно b1 и b2, где b1 + b2 = b. А так как треугольники BXA и BXC получились у нас прямоугольными, то, согласно предыдущему примеру, их площади будут равны соответственно. Следовательно, площадь большого треугольника ABC –
