Однажды утром путешественник выходит из своего лагеря прогуляться. Он проходит один километр на юг, один — на восток и один — на север, что приводит его в точности обратно к лагерю. Заходя в палатку, он слышит какой-то шум, выглядывает наружу и видит медведя. Какого цвета медведь?
Несмотря на исследования, проводившиеся на протяжении более чем 300 лет истории физики, кошки до сих пор сохранили еще один удивительный секрет, имеющий отношение к их способности переворачиваться в нормальное положение. Задача кошачьего переворачивания, возможно, связана с концепцией, известной в физике как геометрическая фаза, или фаза Берри, — изменение в состоянии системы, полностью обусловленное ее собственной геометрией — реальной или математической. Эта связь позволяет нам сравнить падающую кошку с явлениями из области квантовой физики, с явлениями, связанными с поведением света или движением маятников на вращающейся Земле. Падающие кошки и правда обладают глубокими связями с теоретической физикой.
Чтобы разобраться в концепции геометрической фазы, полезно начать с размышлений о движении на знакомой поверхности с нетривиальной геометрией — поверхности нашей собственной планеты. Цитата в начале главы — один из вариантов классической головоломки. У этой загадки существует два озадачивающих, но взаимосвязанных аспекта. Почему путешественник не проходит один километр на запад, чтобы замкнуть круг и вернуться в лагерь? И как цвет медведя может быть связан со всеми этими обстоятельствами?
Ответ: медведь белый. Это полярный медведь. Палатка, должно быть, стоит на Северном полюсе — в одной из двух точек на Земле, где сходятся все линии долготы — меридианы (вторая такая точка — Южный полюс). Стартовав с Северного полюса, человек, идущий на юг, затем на восток и затем на север, описывает в своем движении треугольник, верхней вершиной которого служит палатка.
Урок, который можно извлечь из этой головоломки, состоит в том, что геометрия сферы, такой как Земля, выглядит удивительно странной. Линии широты и долготы, которые мы используем, чтобы определить местоположение на Земле, почти везде перпендикулярны друг другу; однако, поскольку эти линии нарисованы на сфере, существует две точки, где такое описание порождает путаницу, — Северный и Южный полюс. Кольцевые линии долготы, описывающие положение точки в координатах запад — восток, пересекаются на полюсах, а кольцевые же линии широты, описывающие положение в координатах север — юг, на полюсах сжимаются в точку. Геометрия сферы принципиально отличается от геометрии плоскости; любая попытка построить плоскость на сферической поверхности или наоборот столкнется с аналогичными проблемами. Вот почему плоские карты Земли показывают только «проекции», что неизбежно искажает формы и размеры земель возле краев карты. Знаменитая проекция Меркатора, к примеру, рисует Гренландию почти такой же большой, как Соединенные Штаты, а Антарктиду — как все остальные континенты, вместе взятые; это результат растягивания самого верха и самого низа сферы для получения плоской прямоугольной карты.
