1/e ≈ 0,3678794…
Нет, это не совпадение. Вспомните формулу, в которой мы впервые увидели ex:
Если мы положим x = –1, то при любом большом значении n получим
Когда n = 100, (0,99)100 будет примерно равно 1/e. То есть ваши шансы выиграть приз за 100 недель составляют 1 – (1/e) ≈ 64 %.
Одна из самых моих любимых задач, связанных с вероятностью, – задача о сочетании пар. Представьте себе класс, состоящий из n учеников. Учитель раздает им тетрадки с проверенным домашним заданием. Но то ли по рассеянности, то ли от усталости раздает он их как попало, в случайном порядке (то есть тетрадка может попасть как к своему хозяину, так и к любому другому ученику). Каков шанс того, что ни одна из тетрадок не попадет в «правильные» руки? Иными словами, если мы возьмем все числа от 1 до n и «перемешаем» их в произвольном порядке, какова вероятность того, что ни одно из них не совпадет со своей «правильной» позицией? Например, при n = 3 чи́сла 1, 2 и 3 можно «перемешать» 3! = 6 разными способами, но под наши условия подходят только два из них: 231 и 312. Следовательно, для n = 3 нужная нам вероятность составит 2 к 6 или 1 к 3.
С количеством тетрадей, равным n, существует n! возможных способов распределения их между учениками. Количество тех из них, которые соответствуют нашим условиям, обозначим как Dn. Тогда шанс того, что никто из учеников не получит свою тетрадку, составит pn = Dn/n!. Если n равно 4, то Dn будет равно 9:
2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312, 4321
И тогда p4 = D4/4! = 9/24 = 0,375.
А вот каковы вероятности для других значений n:
С увеличением n значение pn будет все ближе и ближе подбираться к 1/e. И вот что самое удивительное: вероятность попадания тетрадок в руки их законных хозяев совершенно не зависит от количества учеников в классе, будь их десять, сто или миллион. И вероятность эта эти очень-очень близка к величине 1/e.
Но откуда берется это 1/e? В первом нашем представлении, с числом учеников, равным n, возможность каждого из них получить свою тетрадь составляет 1/n, а возможность получить чужую – 1 – (1/n). Возьмем последнюю величину и распространим ее на весь класс:
Почему приблизительно, спросите вы? Да потому что здесь, в отличие от задачи с лотерейными билетами, мы не сталкиваемся с последовательностью независимых друг от друга событий. Количество тетрадок ограничено, поэтому первое же «попадание» учителя в цель немного увеличит шансы второго ученика получить чужую тетрадку (то есть вместо 1/n мы будем иметь уже 1/(n – 1)), а первый же «промах» – немного уменьшит. Но так как и в том и в другом случае вероятность изменяется незначительно, на верности нашего представления это не слишком сказывается.
Точное же значение pn основывается на бесконечной последовательности для ex:
