Теперь мы можем оценить значение результата фон Коха 1901 года. Если Гипотеза Римана верна, то при x, стремящемся к бесконечности, абсолютная разность между π(x) и Li(x) — т.е. или Li(x) − π(x), или π(x) − Li(x), что не важно, потому что Ο большому нет дела до знаков, — остается заключенной между двумя ограничивающими кривыми. Ограничивающие кривые — это C√x∙ln x и ее зеркальное отражение, где C — некоторое число. Остаточный член может делать что хочет между этими двумя кривыми, но он никогда не выберется наружу и никогда не вырвется внезапно из-под их контроля. Разность между π(x) и Li(x) есть Ο большое от √x∙ln x.
Рисунок 15.3. Функция Дербишира есть Ο(√x∙ln x).
Можно заметить еще, что, поскольку Ο большое не принимает во внимание множители, масштаб по вертикали совершенно произволен. Важны лишь конфигурация — форма ограничивающих кривых — и тот факт, что начиная с какого-то места наша функция навсегда заключена между ними.
III.
Результат фон Коха 1901 года[135] — а именно утверждение, что, если Гипотеза Римана верна, то π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x), — один из первых примеров определенного типа результатов, которыми сейчас полна теория чисел, — результатов, которые начинаются словами «Если Гипотеза Римана верна, то…». Если окажется, что Гипотеза Римана не верна, то немалую часть теории чисел придется переписывать.
А есть ли какой-нибудь результат типа Ο большого для остаточного члена Li(x) − π(x), который не зависел бы от справедливости Гипотезы Римана? О да. Среди специалистов по аналитической теории чисел долгие годы любимым спортом был поиск все лучших и лучших формул типа Ο большого для остаточного члена. Но ни один не может сравниться с Ο(√x∙ln x). Это абсолютно лучшее, наиболее точное ограничение на остаточный член, известное к настоящему моменту. Правда, раз оно зависит от справедливости Гипотезы, мы не можем быть полностью уверены, что оно верно. Все те оценки остаточного члена, в справедливости которых мы уверены, менее точны, чем эта. Соответствующая параболическая кривая на рисунке 15.3 несколько шире, причем различие делается все более заметным по мере того, как x уходит на бесконечность. Если же Гипотеза Римана верна, то среди всех известных оценок остаточного члена выражение Ο(√x∙ln x) является наилучшим возможным — наиболее точной формулой типа Ο большого. Оно же и простейшее. При этом все формулы, которые были доказаны без предположения о справедливости Гипотезы, выглядят достаточно уродливо. Вот наилучшая из тех, что известны мне на данный момент:
где С — некоторое постоянное число. Ни одна из других подобных формул на вид не проще этой.
Сравним результат фон Коха 1901 года с выделенными курсивом словами в восьмой проблеме Гильберта, приведенной в главе 12.ii. Гильберт перекликался с Риманом, написавшим в своей работе 1859 года, что приближение функции π(x) функцией Li(x) «верно только по порядку величины x1/2». Ну а √x есть, конечно, попросту x1/2. Более того, в главе 5.iv мы видели, что ln x растет медленнее, чем любая положительная степень x, даже самая ничтожно малая. Это можно выразить в терминах Ο большого таким образом: для любого сколь угодно малого числа ε выполнено ln x = Ο(xε). А следовательно (это, правда, не сразу очевидно, но в действительности несложно доказать), можно подставить xε вместо ln x в выражение Ο(√x∙ln x); а поскольку √x — это просто x1/2, можно сложить степени и получить Ο(x1/2+ε). Таким путем получается довольно распространенный вид результата фон Коха: π(x) = Li(x) + Ο(x1/2+ε). Символ ε настолько часто используется для исчезающе малых чисел, что слова «… для любого сколь угодно малого ε» здесь подразумеваются.
