Я вполне уверен, что существуют такие люди, про которых можно сказать, что у них установились глубокие дружеские отношения с самими собой. Но давайте попытаемся мыслить так, как мог мыслить Пифагор, и поинтересуемся не ими, а числами: существуют ли такие числа, суммы собственных{9} делителей которых равны самим этим числам?
Числа, обладающие этим свойством, называют совершенными числами. Сразу (то есть, разумеется, после некоторого размышления) становится ясно, что первые два совершенных числа – это 6 и 28. Здесь я сделаю небольшую паузу, чтобы мой умудренный читатель смог самостоятельно убедиться в том, что 6 и 28 – действительно совершенные числа.
Ответ: 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Что касается числа 6, вот что писал в книге «О граде Божьем» (De Civitate Dei) Блаженный Августин Иппонийский (354–430): «Не потому шестеричное число совершенно, что Бог создал все дела Свои в шесть дней, а потому Он и создал Свои дела в шесть дней, что шестеричное число совершенно».
Следующее после 28 совершенное число – 496, а следующее за ним – 8128. Русский писатель Лев Толстой любил хвастаться, что родился в «почти совершенном» году – 1828-м. Вот если бы он родился 28 июня, тогда ему действительно было бы чем гордиться (не говоря уже о том, что число 6,28 к тому же близко к 2π)[10].
Возможно, вы заметили в этой последовательности – 6, 28, 496, 8128… – некую закономерность. Любители выдвигать гипотезы могут сделать следующее предположение: последняя цифра совершенного числа бывает поочередно равна 6 и 8.
Однако эта гипотеза оказывается ошибочной. Пятое совершенное число равно 33 550 336, то есть вписывается в эту тенденцию. Но уже шестое – 8 589 869 056 – тоже заканчивается на шестерку и тем самым нарушает закономерность. Может быть, гипотезу можно слегка подправить и предположить, что все совершенные числа заканчиваются либо на 6, либо на 8.
Посмотрим на первые девять совершенных чисел:
6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
В последнем из них 37 знаков (а сумма всех его собственных делителей равна самому этому числу!).
В десятом числе 54 знака, а в одиннадцатом – 65, и заканчивается оно цифрами 8128, то есть в точности четвертым совершенным числом. Кстати говоря, найдены совершенные числа с миллионом (!) знаков. Не стесняйтесь – выдвигайте свои гипотезы.
Головоломка для сильных учеников
Докажите, что любое четное совершенное число заканчивается либо на 6, либо на 8. В этом вам могут помочь приведенные ниже равенства.
6 = 1 + 2 + 3.
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1³ + 3³.
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 31 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³.
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 127 = 1³ + 3³ + 5³ + … + 15³.
Более того, французский математик Эдуард Люка (1842–1891) доказал даже, что любое четное совершенное число должно заканчиваться на 16, 28, 36, 56, 76 или 96. Как ему это удалось? Не без труда!
Пока что мы видели только семь совершенных чисел, и все они четные. Естественно, хочется спросить: а бывают ли нечетные совершенные числа?
В конце XIX в. британский математик Джеймс Сильвестр писал, что открытие нечетного совершенного числа было бы настоящим чудом. Даже теперь многие математики склонны полагать, что ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Тем не менее доказать это пока что никто не смог. Вот вам еще одна «открытая проблема» – и еще одна возможность добиться славы и успеха!
