Ознакомительная версия. Доступно 20 страниц из 97
M/N = √2. Возведем это уравнение в квадрат и умножим на N, получим M² = 2N². Поскольку M² получается умножением на два, это число четное. Значит, M тоже четное, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный. А теперь я покажу, что N тоже четное.
Поскольку M четное, мы можем записать его как M = 2K, где K – еще одно целое число. Возведя это уравнение в квадрат, получим M² = 4K². Чуть ранее мы показали, что M² = 2N², поэтому 2N² = 4K². Разделив на 2, получим N² = 2K². Следовательно, число N² четное, а значит, и N – тоже четное.
Мы получили противоречие с нашим выводом, что хотя бы одно из чисел M и N должно быть нечетным. Единственной возможной причиной (поскольку в остальном мы строго следовали правилам математики) оказывается то, что наше первоначальное предположение – о том, что √2 можно записать как I/J, – неверно. Таким образом, иррациональность √2 доказана.
Этот результат так интересен, в частности, потому, что его никак невозможно получить в рамках физики. Никакое измерение не в состоянии продемонстрировать, что число √2 иррационально. Это истина, лежащая за пределами физических измерений; она существует только в человеческом сознании. Это нефизическое знание.
Если интересно, можете попробовать доказать аналогичным способом, что иррационально число √4. Разумеется, это не так; √4 = 2/1. Попробуйте просто применить подход, который мы только что использовали, и посмотреть, где он не сработает.
Приложение 4
Творение
Вначале было лишь ничто – и не существовало ни Солнца, ни Земли, ни космоса, ни времени – и пустота зияла. Возникло время – и раздался взрыв: ничто изверглось, словно лава, наполнилась огнем живым вселенская душа – и сердце мира в волнении затрепетало. Стремительно как свет росло пространство, а огненные бури утихали, и появилась материя первейшая. Необычайно хрупкие песчинки, из коих состоит Вселенная, перемешались в беспорядке, казалось, ожидая мощной силы, которая бы усмирила их. Вселенная остыла, материя начала дробиться. Она дробилась и дробилась до предела. Мельчайшие частицы (электроны, глюоны, кварки) бросалися друг к другу, но бело-голубое пламя, что жгло нещадно, не позволяло им соединиться. Пространство расширялось, а пламя остывало от бела до красна, и наступила темнота. И вот остановилось жженье, частицы сжались и слилися в атомы: то были водород и гелий, из которых все в нашем мире состоит. Затем под силой притяженья Те атомы соединились, Из них возникли облака, и звезды, и галактики, и их скопленья. И в пустоте впервые Пространство появилося пустое. И в звездном облаке скопилось вещество – материя сжималась, нагревалась и зажглась, и вот он – свет! И ядра, что сокрыты внутри таинственной звезды, вдруг обратились в топливо и через много лет наполнили Вселенную всем, веществом – то были углерод и кислород, железо – материя жизни, материя, что зарождалась долго в недрах звезд. Горело и страдало сердце таинственной большой звезды. И обессилело вконец, забилось в судорогах… Но… О чудо! Вспышка – гравитационная энергия наружу вырвалась и, обрушая жар, воспрянула и стала ярче тысяч звезд Сверхновая звезда! Да, ярче, ярче тысяч, мириадов звезд, светлее, чем галактики. Крупицы углерода, железа, кислорода исторглись в космос, свободу обрели – и обратились в пыль. То пепел был звезды и жизни суть. Что далее? В галактике с названьем Млечный Путь, что в сверхскопленье Девы, пылинки делятся, соединяются, рождая новую звезду. А рядом из звездной пыли появляется планета. И молодое Солнце сжимается и зажигает, согревая своим теплом младую, девственную Землю. Приложение 5
Математика неопределенности
Принцип неопределенности в физике – всего лишь следствие из того, что частицы обладают волновыми свойствами.
Фундаментальная математика волновых колебаний разработана достаточно давно, и в ней есть знаменитая теорема, согласно которой буквально любой импульс можно представить в виде суммы бесконечных, но при этом непрерывных гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных). Эта область математики носит название Фурье-анализа[280] и считается частью продвинутого интегрального исчисления. Студентов на занятиях часто просят представить «квадратную волну» (периодический сигнал, состоящий из последовательности одинаковых прямоугольных импульсов) в виде суммы синусов и косинусов.
Ознакомительная версия. Доступно 20 страниц из 97
