π(100) =
J(100) − 1/2
J(10) − 1/3
J(4,64…) − 1/5
J(2,51…) + 1/6
J(2,15…) − 0 + 0 + … = 288/15 − 22/3 − 5/6 − 1/5 + 1/6,
что дает в точности число 25, которое и в самом деле является числом простых чисел меньших 100. Волшебство.
А теперь повернем Золотой Ключ.
V.
Вот Золотой Ключ, первое равенство в статье Римана 1859 года, полученное нами в главе 7, когда я убеждал вас, что это просто хитрый способ переписать решето Эратосфена:
He будем забывать, что числа, появляющиеся в правой части, — это в точности все простые числа.
Возьмем логарифм от обеих частей. Если что-то равно чему-то, то, конечно, и логарифм одного должен быть равен логарифму другого. Согласно 9-му правилу действий со степенями, которое гласит, что ln(a×b) = ln а + ln b, получаем
Но, поскольку ln 1/a = −ln a согласно 10-му правилу, это выражение равно
Теперь вспомним ряд сэра Исаака Ньютона для функции ln (1 − x) из главы 9.vii. Он пригоден при x, лежащем от −1 до +1, что, без сомнения, выполнено в нашем случае, поскольку s положительно. Поэтому каждый логарифм можно разложить в бесконечный ряд таким образом (19.3):
Это бесконечная сумма бесконечных сумм — с первого взгляда, я полагаю, подобное немного пугает, но в математике такие конструкции встречаются достаточно часто.
Сейчас может показаться, что мы оказались в ситуации, которая много хуже той, что была вначале. Аккуратненькое бесконечное произведение мы превратили в бесконечную сумму бесконечных сумм. Предприятие может показаться безнадежным. Да, но это если не использовать всю мощь анализа.
VI.
Возьмем какой-нибудь один из членов в этой сумме сумм. Выберем, например,. Рассмотрим функцию x−s−1 и будем временно считать, что s — положительное число. Каков интеграл от x−s−1? В силу общих правил обращения со степенями, приведенных в главе 7.vii, это x−s/(−s), т.е. (−1/s)×(1/xs). Если мы возьмем этот интеграл при x, равном бесконечности, и вычтем из того, что получится, тот же интеграл, взятый при x равном 32,то что получится? Ну, если x — очень большое число, то (−1/s)×(1/xs) — число очень маленькое, так что справедливо будет считать, что, когда x бесконечно велико, это выражение равно нулю. И из этого — из нуля — мы собираемся вычесть (−1/s)×(1/(32)s). Такое вычитание дает (1/s)×(1/(32)s). Сухой остаток таков: выбранный член в выражении (19.3) можно переписать в виде интеграла
Но зачем мы вообще все это делаем? Чтобы вернуться к функции J, вот зачем.
Дело в том, что x = 32 — это значение, при котором функция J совершает прыжок на 1/2. В голове у математика — и уж точно в голове у великого математика, каким был Риман, — приведенное выражениесразу вызывает некоторый образ. Этот образ представлен на рисунке 19.4: это функция J с заполненной полосой. Полоса тянется от 32 (т.е. от 9) до бесконечности и имеет высоту одна вторая. Ясно, что вся площадь под (говорим «площадь под» — думаем «интеграл») графиком функции J составлена из подобных же полосок. Полоски высотой 1, протянувшиеся от каждого простого числа до бесконечности; полоски высотой одна вторая, идущие от каждого квадрата простого числа до бесконечности; полоски высотой одна треть от каждого куба простого числа до бесконечности… Видите, как все срастается с той бесконечной суммой бесконечных сумм в выражении (19.3)?
